Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+1}$是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）解不等式f（x²-x+2）＜f（4）．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，可得f（0）=0，由此求得a的值．
（2）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)區(qū)間（1，+∞）上小于零，可得f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）利用函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，且x²-x+2＞1，f（x²-x+2）＜f（4），可得x²-x+2＞4，由此求得不等式的解集．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+1}$是奇函數(shù)，故有f（0）=$\frac{a}{1}$=0，∴a=0．
（2）證明：∵y=f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，∴f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）由′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1），減區(qū)間為（1，+∞）、（-∞，-1）
∵x²-x+2=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{π}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
故由不等式f（x²-x+2）＜f（4），可得x²-x+2＞4，求得x＜-1，或x＞2，
故不等式的解集為{x|x＜-1，或 x＞2}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．