Question

13．在開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，班級(jí)的學(xué)習(xí)小組為了解某生活小區(qū)居民用水量y（噸）與氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了5天該小區(qū)居民用水量與當(dāng)天氣溫的對(duì)應(yīng)表：

日期	9月5日	10月3日	10月8日	11月16日	12月21日
氣溫x（℃）	18	15	11	9	-3
用水量y（噸）	69	57	45	47	32

（1）若從這隨機(jī)統(tǒng)計(jì)的5天中任取2天，求這2天中有且只有1天用水量超過50噸的概率（列出所有的基本事件）；
（2）由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程中的$\widehat$≈1.6，試求出$\widehat{a}$的值，并預(yù)測(cè)當(dāng)?shù)貧鉁貫?℃時(shí)，該生活小區(qū)的用水量．（參考$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，公式：$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）用列舉法寫出從5天中任取2天的所有基本事件，從中找出有且只有1天用水量低于50噸”的基本事件，利用個(gè)數(shù)比求概率；
（2）利用公式求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，根據(jù)回歸直線過過樣本中心（$\overline{x}$，$\overline{y}$）與系數(shù)b=1.4求出系數(shù)a，可得回歸直線方程，把x=5代入回歸方程得y值，即為當(dāng)?shù)貧鉁貫?℃時(shí)，該生活小區(qū)的用水量．

解答 解：（1）設(shè)在抽樣的5天中用水量不低于50噸的兩天為a_i（i=1，2），用水量低于50噸的三天為b_i（i=1，2，3），那么5天任取2天的基本事件是：（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂）（a₁，b₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₂，b₃）共計(jì)10個(gè)．…（2分）
設(shè)“從5天中任取2天，有且只有1天用水量超過50噸”為事件A，則A包括的基本事件為（a₁，b₁），（a₁，b₂）（a₁，b₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃）共6個(gè)，
∴$P（A）=\frac{3}{5}$．…（5分）
∴從5天中任取2天，有且只有1天用水量超過50噸的概率為$\frac{3}{5}$．…（6分）
（2）依題意可知$\overline{x}$=$\frac{18+15+11+9-3}{5}$=10，$\overline y=\frac{69+57+45+47+32}{5}=50$，…（8分）
∵線性回歸直線過點(diǎn)（$\overline{x}$，$\overline{y}$），且$\widehatb≈1.6$，
∴把點(diǎn)（10，50）代入直線方程，得$\widehata=34$，…（10分）
∴$\widehaty=1.6x+34$，又x=5時(shí)，y=1.6×5+34=42
∴可預(yù)測(cè)當(dāng)?shù)貧鉁貫?℃時(shí)，居民生活用水量為42噸．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了回歸分析，考查了古典概型的概率計(jì)算，用列舉法求進(jìn)步事件個(gè)數(shù)是進(jìn)行古典概型概率的常用方法．