Question

2．已知f（2）=3，對于?m，n∈N^*滿足f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，則f（n）=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

Answer 1

分析 利用已知條件求出f（1），然后求出f（1+n）與f（n）的關(guān)系，利用累加法求解即可．

解答 解：f（2）=3，對于?m，n∈N^*滿足f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，
令m=n=1，可得3=f（1）+f（1）+1，解得f（1）=1．
令m=1，f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，化為：f（n+1）=f（n）+1+n，
可得f（2）=f（1）+1+1，
f（3）=f（2）+1+2，
f（4）=f（3）+1+3，
…
f（n）=f（n-1）+1+n-1，
把以上各式相加可得：f（n）=f（1）+1（n-1）+[1+2+3+…+（n-1）]
=1+n-1+$\frac{（n-1+1）（n-1）}{2}$
=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．
故答案為：$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，累加法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．