15.平面直角坐標系xoy中,直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcos\frac{π}{4}\\ y=tsin\frac{π}{4}\end{array}$(t為參數(shù)),以射線ox為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}$+ρ2sin2θ=1.
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)求直線l與曲線C相交所得的弦AB的長.

分析 (1)曲線C的極坐標方程是$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}$+ρ2sin2θ=1,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得直角坐標方程..
(2)直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcos\frac{π}{4}\\ y=tsin\frac{π}{4}\end{array}$(t為參數(shù)),即$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$,代入橢圓方程可得:$5{t}^{2}+2\sqrt{6}t$-2=0,利用|AB|=|t1-t2|=$\sqrt{({t}_{1}+{t}_{2})^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出.

解答 解:(1)曲線C的極坐標方程是$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}$+ρ2sin2θ=1,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1.
(2)直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcos\frac{π}{4}\\ y=tsin\frac{π}{4}\end{array}$(t為參數(shù)),即$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$,代入橢圓方程可得:$5{t}^{2}+2\sqrt{6}t$-2=0,
∴t1+t2=$-\frac{2\sqrt{6}}{5}$,t1•t2=-$\frac{2}{5}$,∴|AB|=|t1-t2|=$\sqrt{({t}_{1}+{t}_{2})^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{(-\frac{2\sqrt{6}}{5})^{2}-4×(-\frac{2}{5})}$=$\frac{8}{5}$.

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程的應用、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、弦長公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

5.已知$\overrightarrow a,\;\overrightarrow b$為同向單位向量,若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{{1+4{k^2}}}{4k}$(k>0),則k=$\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.已知平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ,$\overrightarrow{a}=(1,1)$,$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow=(4,-2)$,則cosθ=(  )
A.0B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.已知函數(shù)f(x)=2ln(x+1)+$\frac{1}{x(x+1)}-1$;
(Ⅰ)求f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值;
(Ⅱ)證明:當n≥2時,對任意的正整數(shù)n,都有l(wèi)n1+ln2+…+lnn$>\frac{(n-1)^{2}}{2n}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

10.已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點M(m,2),其焦點為F,且|MF|=2.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設E為y軸上異于原點的任意一點,過點E作不經(jīng)過原點的兩條直線分別與拋物線C和圓F:(x-1)2+y2=1相切,切點分別為A,B,求證:直線AB過定點F(1,0).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

20.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx,其導函數(shù)為f′(x)的部分值如表所示:
x-3-201348
f'(x)-24-10680-10-90
根據(jù)表中數(shù)據(jù),回答下列問題:
(Ⅰ)實數(shù)c的值為6;當x=3時,f(x)取得極大值(將答案填寫在橫線上).
(Ⅱ)求實數(shù)a,b的值.
(Ⅲ)若f(x)在(m,m+2)上單調遞減,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.設橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過右焦點F2的直線l與C相交于P,Q兩點,若△F1PQ的周長為短軸長的2$\sqrt{2}$倍,拋物線y2=2$\sqrt{2}$x的焦點F滿足$\overrightarrow{{F}_{1}F}$=3$\overrightarrow{F{F}_{2}}$.
(I) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=3$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$,求直線l的方程;
(Ⅲ)若直線l的傾斜角α∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$],求△F1PQ的內切圓的半徑r的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

4.已知角θ的終邊過點P(-12,5),則cosθ+sinθ=( 。
A.$-\frac{5}{12}$B.$-\frac{7}{13}$C.$\frac{12}{13}$D.$\frac{5}{13}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

5.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,若c=4,且C=60°,則ab的最大值為(  )
A.4B.1+$\sqrt{3}$C.16D.$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

查看答案和解析>>

同步練習冊答案