Question

9．設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3，并且S_n=2na_n+1-3n²-4n，n∈N^*，．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）歸納出數列{a_n}的通項公式并加以證明．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3，列出方程組，能夠求出求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想：a_n=2n+1，再用數學歸納法進行證明．

解答 解：（1）a₁=3，a₂=5，a₃=7．
（2）由（1）猜想a_n=2n+1，下面用數學歸納法證明．
①當n=1時，結論顯然成立；
②假設當n=k（k∈N^*）時，a_k=2k+1，
則S_k=3+5+7+…+（2k+1）=$\frac{k[3+（2k+1）]}{2}$=k（k+2）．
又S_k=2ka_k+1-3k²-4k，
所以k（k+2）=2ka_k+1-3k²-4k，
解得2a_k+1=4k+6，
所以a_k+1=2（k+1）+1，即當n=k+1時，結論成立．
由①②知，?n∈N^*，a_n=2n+1．

點評 本題主要考查數學歸納法的應用，由數列的前n項和求通項公式，屬于中檔題．