Question

18．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[-1，1]\\{x^2}-1，x∈（1，2]\end{array}$，則$\int_{-1}^2{f（x）dx=}$$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由定積分的運算，$\int_{-1}^2{f（x）dx=}$${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{1}^{2}$（x²-1）dx，根據(jù)定積分的幾何意義及定積分的運算，即可求得答案．

解答 解：$\int_{-1}^2{f（x）dx=}$${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{1}^{2}$（x²-1）dx，
由定積分的幾何意義，可知${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原點為圓心，以1為半徑的圓的面積的一半，
則${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×π=$\frac{π}{2}$，
則${∫}_{1}^{2}$（x²-1）dx=（$\frac{1}{3}$x³-x）${丨}_{1}^{2}$=（$\frac{8}{3}$-2）-（$\frac{1}{3}$-1）=$\frac{4}{3}$，
∴$\int_{-1}^2{f（x）dx=}$${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{1}^{2}$（x²-1）dx=$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查定積分的運算，考查定積分的幾何意義，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．