Question

已知f（x）=

ex-e-x

2

，g（x）=

ex+e-x

2

（1）求證：f（2x）=2f（x）•g（x）；
（2）求證：g（2x）=[g（x）]²+[f（x）]²；
（3）判斷f（x）與g（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）（2）分別代入計(jì)算即可證明，
（3）利用函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷

解答： 解：（1）∵f（x）=

ex-e-x

2

，g（x）=

ex+e-x

2

，
∴

1

2

（e^2x-e^-2x），2f（x）g（x）=2•

ex-e-x

2

•

ex+e-x

2

=

1

2

（e^2x-e^-2x），
∴f（2x）=f（2x）=2f（x）•g（x）；
（2）∵g（2x）=

1

2

（e^2x+e^-2x），[g（x）]²+[f（x）]²=[

1

2

（e^x+e^-x）]²+[

1

2

（e^x-e^-x）]²=

1

4

（e^2x+e^-2x+2+e^2x-e^-2x-2）=

1

2

（e^2x+e^-2x），
∴g（2x）=[g（x）]²+[f（x）]²；
（3）∵f（-x）=

1

2

（e^-x-e^x）=-

1

2

（e^x-e^-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵g（-x）=

1

2

（e^-x+e^x）=

1

2

（e^x-e^-x）=g（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等式的證明，以及函數(shù)奇偶性，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．是基礎(chǔ)題