Question

2．如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，DD₁⊥面ABCD，DD₁∥CC₁，AD=4，AB=2，BC=1．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面ADD₁；
（Ⅱ）若DD₁=2，求平面AC₁D₁與平面ADD₁所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD∥BC，DD₁∥CC₁，得平面BCC₁∥平面ADD₁，由此能證明BC₁∥平面ADD₁．
（Ⅱ）推導(dǎo)出AB⊥BC，AB⊥CC₁，從而CC₁⊥平面ABCD，進(jìn)而DD₁⊥平面ABCD，過D在底面ABCD中作DM⊥AD，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DM為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AC₁D₁與平面ADD₁所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵AD∥BC，DD₁∥CC₁，BC∩CC₁=C，AD∩DD₁=D，
BC，CC₁?平面BCC₁，AD，DD₁?平面ADD₁，
∴平面BCC₁∥平面ADD₁，
∵BC₁?平面BCC₁，
∴BC₁∥平面ADD₁．
解：（Ⅱ）∵平面ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∴AB⊥BC，
又∵AB⊥BC₁，BC∩BC₁=B，∴AB⊥平面BCC₁，∴AB⊥CC₁，
又∵四邊形CC₁D₁D為矩形，且底面ABCD中AB與CD相交于一點(diǎn)，
∴CC₁⊥平面ABCD，
∵CC₁∥DD₁，∴DD₁⊥平面ABCD，
過D在底面ABCD中作DM⊥AD，∴DA，DM，DD₁兩兩垂直，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DM為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（3，2，0），C₁（2，1，2），D₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，2，2），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-4，0，2），
設(shè)平面AC₁D₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-x+2y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-4x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，-3，4），
平面ADD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-3}{\sqrt{29}}$=-$\frac{3\sqrt{29}}{29}$，
∴平面AC₁D₁與平面ADD₁所成的銳二面角的余弦值為$\frac{3\sqrt{29}}{29}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．