Question

已知函數(shù)f（x）=ax-3，g（x）=-x^-2，如果關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在（0，+∞）有唯一解，則實數(shù)a的取值范圍是________．

Answer 1

{a|a=2或a≤0}
分析：由函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），故我們可將關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有且僅有一個正實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為方程ax³-3x²+1=0有且僅有一個正實數(shù)解，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案．
解答：由函數(shù)解析式可得：x≠0，如果關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有且僅有一個正實數(shù)解，
由于ax-3+x^-2=0?ax³-3x²+1=0．
即方程ax³-3x²+1=0有且僅有一個正實數(shù)解，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1
則函數(shù)f（x）的圖象與x正半軸有且僅有一個交點．
又∵f'（x）=3x（ax-2）
①當(dāng)a=0時，代入原方程知此時僅有一個正數(shù)解，滿足要求；
②當(dāng)a＞0時，則得f（x）在（-∞，0）和（，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減，
f（0）=1，知若要滿足條件只有x=時，f（x）取到極小值0，
x=代入原方程得到正數(shù)解a=2，滿足要求；
③當(dāng)a＜0時，ax³=3x²-1，函數(shù)y=ax³ 與y=3x²-1在x＞0時只有一個交點，滿足題意，
綜上：a≤0或a=2．
故答案為：{a|a=2或a≤0}
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)函數(shù)的定義域，將分式方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為整式方程根的個數(shù)問題是解答本題的關(guān)鍵．