【題目】某次高三年級模擬考試中,數(shù)學試卷有一道滿分10分的選做題,學生可以從A,B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學生參加了本次考試,為了了解該校學生解答該選做題的得分情況,作為下一步教學的參考依據(jù),計劃從900名考生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本,為此將900名考生選做題的成績按照隨機順序依次編號為001~900.

1)若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣,從編號為001~090的成績中用簡單隨機抽樣確定的成績編號為025,求樣本中所有成績編號之和;

2)若采用分層抽樣,按照學生選擇A題目或B題目,將成績分為兩層.已知該校高三學生有540人選做A題目,有360人選做B題目,選取的樣本中,A題目的成績平均數(shù)為5,方差為2,B題目的成績平均數(shù)為5.5,方差為0.25.

i)用樣本估計該校這900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差;

ii)本選做題閱卷分值都為整數(shù),且選取的樣本中,A題目成績的中位數(shù)和B題目成績的中位數(shù)都是5.5.從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數(shù)據(jù)做進一步調查,求取到的兩個成績來自不同題目的概率.

【答案】(1)4300;(2) i)平均數(shù)為5.2,方差為1.36.ii

【解析】

1)根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征,各個編號成等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的首項與公差即可求得前10項的和.

2)根據(jù)分層抽樣特征可知抽出的樣本中A題目的成績有6,B題目的成績有4.求出10名學生的總成績,即可得10名學生的平均成績.根據(jù)所給A題目和B題目的平均數(shù)和方差,將方差公式變形,即可求得10名學生的成績方差.從選取的成績可知,A題目中超過平均成績的有3,B題目超過平均值的有2,根據(jù)古典概型概率求法,用列舉法把所有情況列舉出來,即可得解.

1)由題易知,若按照系統(tǒng)抽樣的方法,抽出的編號可以組成以25為首項,90為公差的等差數(shù)列,故樣本編號之和即為該數(shù)列的前10項之和,

所以.

2)(i)由題易知,若按照分層抽樣的方法,抽出的樣本中A題目的成績有6,按分值降序分別記為,,…,;B題目的成績有4,按分值降序分別記為,,,.

記樣本的平均數(shù)為,樣本的方差為.由題意可知,

,

,

所以,估計該校900名考生選做題得分的平均數(shù)為5.2,方差為1.36.

ii)本選做題閱卷分值都為整數(shù),且選取的樣本中,A題目成績的中位數(shù)和B題目成績的中位數(shù)都是5.5,易知樣本中A題目的成績大于樣本平均值的成績有3,分別為,,,B題目的成績大于樣本平均值的成績有2,分別為,.

從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數(shù)據(jù)共有種10方法,為:

,,,,,,,,,,

其中取到的兩個成績來自不同題目的取法共有6,為:

,,,,,,

從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數(shù)據(jù),取到的兩個成績來自不同題目為事件,

所以.

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