Question

【題目】設F1 ， F2分別是C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N．
（1）若直線MN的斜率為 ，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵M是C上一點且MF2與x軸垂直，

∴M的橫坐標為c，當x=c時，y= ，即M（c， ），

若直線MN的斜率為 ，

即tan∠MF1F2= ，

即b2= =a2﹣c2，

即c2+ ﹣a2=0，

則 ，

即2e2+3e﹣2=0

解得e= 或e=﹣2（舍去），

即e=

（2）解：由題意，原點O是F1F2的中點，則直線MF1與y軸的交點D（0，2）是線段MF1的中點，

設M（c，y），（y＞0），

則 ，即 ，解得y= ，

∵OD是△MF1F2的中位線，

∴ =4，即b2=4a，

由|MN|=5|F1N|，

則|MF1|=4|F1N|，

解得|DF1|=2|F1N|，

即

設N（x1，y1），由題意知y1＜0，

則（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．

即 ，即

代入橢圓方程得 ，

將b2=4a代入得 ，

解得a=7，b= ．

【解析】（1）根據M是橢圓上的點求出點M的坐標，由斜率等于傾斜角的正切值結合橢圓里a、b、c的關系得到關于a和c的方程，等式兩邊同除以得到關于離心率的一元二次方程解出值，并根據橢圓離心率的取值范圍舍去﹣2即可。（2）由題意可知利用中點坐標的關系得到點M的縱坐標為y= 即可得b2=4a，再根據已知得出向量之間的關系并利用向量共線的坐標關系求出點N的坐標代入橢圓的方程結合a、b的關系即可求出其值。