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【題目】設F1 , F2分別是C: + =1(a>b>0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為 ,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

【答案】
(1)解:∵M是C上一點且MF2與x軸垂直,

∴M的橫坐標為c,當x=c時,y= ,即M(c, ),

若直線MN的斜率為 ,

即tan∠MF1F2= ,

即b2= =a2﹣c2,

即c2+ ﹣a2=0,

即2e2+3e﹣2=0

解得e= 或e=﹣2(舍去),

即e=


(2)解:由題意,原點O是F1F2的中點,則直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,

設M(c,y),(y>0),

,即 ,解得y=

∵OD是△MF1F2的中位線,

=4,即b2=4a,

由|MN|=5|F1N|,

則|MF1|=4|F1N|,

解得|DF1|=2|F1N|,

設N(x1,y1),由題意知y1<0,

則(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1).

,即

代入橢圓方程得 ,

將b2=4a代入得 ,

解得a=7,b=


【解析】(1)根據M是橢圓上的點求出點M的坐標,由斜率等于傾斜角的正切值結合橢圓里a、b、c的關系得到關于a和c的方程,等式兩邊同除以得到關于離心率的一元二次方程解出值,并根據橢圓離心率的取值范圍舍去﹣2即可。(2)由題意可知利用中點坐標的關系得到點M的縱坐標為y= 即可得b2=4a,再根據已知得出向量之間的關系并利用向量共線的坐標關系求出點N的坐標代入橢圓的方程結合a、b的關系即可求出其值。

練習冊系列答案
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