Question

7．一個圓內切于一個等腰銻形，已知圓面積是等腰銻形面積的$\frac{1}{2}$，求等腰梯形的底角（用反正切表示）

Answer 1

分析 如圖，設圓的半徑為r，設底角B=2α，由條件利用直角三角形中的邊角關系，求得tanα的值，可得2α的值．

解答 解：∵一個圓內切于一個等腰銻形，設圓的半徑為r，設底角B=2α，
則A=180°-2α，故∠OBF=α，∠OAE=90°-α，
∴BC=2BF=2r•cotα，AD=2AE=2r•cot（90°-α）．
∵已知圓面積是等腰銻形面積的$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$（AD+BC）•2r=2•π•r²，
即[2r•cot（90°-α）+2r•cotα]•r=2•π•r²，
求得tanα+cotα=π，∴tanα=$\frac{π-\sqrt{{π}^{2}-4}}{2}$，∴α=arctan$\frac{π-\sqrt{{π}^{2}-4}}{2}$，
故等腰梯形的底角B=2α=2arctan$\frac{π-\sqrt{{π}^{2}-4}}{2}$．

點評 本題主要考查直角三角形中的邊角關系，反三角函數的應用，屬于中檔題．