Question

18．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，則x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． 2
• D． $\frac{2+2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得P（x，y）表示線段AB上的點(diǎn)，x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示P到y(tǒng)軸距離d與到O的距離PO之和，由對(duì)稱性解出O（0，0）關(guān)于直線2x+y=2的對(duì)稱點(diǎn)為O′的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，∴P（x，y）表示線段AB上的點(diǎn)，
設(shè)O（0，0）關(guān)于直線2x+y=2的對(duì)稱點(diǎn)為O′（a，b），
則由對(duì)稱性可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-0}{a-0}•（-2）=-1}\\{2•\frac{a+0}{2}+\frac{b+0}{2}=2}\end{array}\right.$，解得O′（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），
故x+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示P到y(tǒng)軸距離d與到O的距離PO之和．
由對(duì)稱性可得PO′=PO，故原式=PO′+d，
結(jié)合圖象可知當(dāng)PO′與y軸垂直時(shí)上式取最小值$\frac{8}{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查式子的最值，由式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．