Question

9．如圖，PD⊥平面ABCD，DC⊥AD，BC∥AD，PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$．
（1）若AD=DC，求異面直線PA，BC所成的角；
（2）求PB與平面PDC所成角大��；
（3）求二面角D-PB-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解，
（2）根據(jù)直線和平面所成角的定義進(jìn)行求解，
（3）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角進(jìn)行求解．

解答 （1）解：由已知得異面直線PA，BC所成的角為直線PA與AD所成的角為∠PAD=45°
（2）解：由已知得BC與平面PDC垂直，所以PB與平面PDC所成角為∠CPB=45°
（3）解：取PC中點(diǎn)E，連接DE，則DE⊥PC
由于BC⊥平面PDC，所以PBC⊥平面PDC，從而DE⊥平面C，做EF⊥PB于點(diǎn)F，連接DF，可得DF⊥PB
所以∠DFE為二面角D-PB-C的平面角．
計算可得DE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，EF=$\frac{1}{2}$．
所以二面角D-PB-C的正切值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間角的計算，涉及根據(jù)異面直線，線面角以及二面角的定義分別作出對應(yīng)的平面角是解決本題的關(guān)鍵．