Question

14．如圖，在二面角α-AB-β中，線段AC?α，BD?β，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=CD=4，AB=BD=2，則二面角α-AB-β的大小為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 設二面角α-AB-β的大小為θ，由已知得：${\overrightarrow{CD}}^{2}$=${（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）}^{2}$，利用向量數(shù)量積的應用進行求解，由此能求出二面角α-AB-β的大�。�

解答 解：設二面角α-AB-β的大小為θ，
則$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，且＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$＞=θ，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
平方得：${\overrightarrow{CD}}^{2}$=${（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）}^{2}$=$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BD}$²+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BD}$=4+16+4-2×4×2cosθ=16，
解得cosθ=$\frac{1}{2}$．則θ=$\frac{π}{3}$
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查二面角的余弦值的求法，利用向量法結合向量數(shù)量積的應用是解決本題的關鍵．解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．