Question

6．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點．
（1）當(dāng)a=2b，點P在雙曲線上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2時，求雙曲線方程．
（2）已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1具有如下性質(zhì)，若x=t交雙曲線于P，Q，A₁，A₂為雙曲線頂點，則A₁P，A₂Q交點的軌跡是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
試對橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1寫出具有類似特征的性質(zhì)，并予以證明．

Answer 1

分析 （1）運用雙曲線的定義，可得a=1，由a=2b，可得b，即可得到所求雙曲線的方程；
（2）類似的性質(zhì)：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1具有如下性質(zhì)，若x=t交橢圓于P，Q，A₁，A₂為橢圓左、右頂點，則A₁P，A₂Q交點的軌跡是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．設(shè)A₁（-a，0），A₂（a，0），令x=t，代入橢圓方程，求得交點P，Q，求得直線A₁P，A₂Q的方程，消去t，相乘即可得到所求軌跡方程．

解答 解：（1）由雙曲線的定義可得
|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2，即2a=2，可得a=1，
又a=2b，即b=$\frac{1}{2}$，
可得雙曲線的方程為x²-4y²=1；
（2）類似的性質(zhì)：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1具有如下性質(zhì)，
若x=t交橢圓于P，Q，A₁，A₂為橢圓左、右頂點，
則A₁P，A₂Q交點的軌跡是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
證明：設(shè)A₁（-a，0），A₂（a，0），
令x=t，代入橢圓方程，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$，
可得P（t，b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），Q（t，-b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），
直線A₁P的方程為y=$\frac{b\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}}{t+a}$（x+a），①
直線A₂Q的方程為y=$\frac{b\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}}{a-t}$（x-a），②
由①②兩邊平方相乘可得，
y²=$\frac{^{2}（1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}）}{{a}^{2}-{t}^{2}}$（x²-a²），
即為y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（x²-a²），
即有交點的軌跡方程為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用雙曲線的定義，考查軌跡方程的求法，注意運用聯(lián)立直線方程消去參數(shù)方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．