11．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率e=2，經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F且斜率為$\frac{\sqrt{15}}{3}$的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=12，求此雙曲線方程．

分析 由離心率公式可得c=2a，b=$\sqrt{3}$a，設(shè)出直線AB方程，然后聯(lián)立雙曲線的方程消去y得x的方程，利用|AB|=12，建立方程，即可求a=1，求得b，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，b=$\sqrt{3}$a，
設(shè)右焦點(diǎn)F（2a，0），
設(shè)直線方程為y=$\frac{\sqrt{15}}{3}$（x-2a），
代入雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即有3x2-y2=3a2，
整理可得4x2+20ax-29a2=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=-5a，x1x2=-$\frac{29}{4}$a2，
|AB|=$\sqrt{1+\frac{5}{3}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$•$\sqrt{25{a}^{2}+29{a}^{2}}$=12，
解得a=1．即有b=$\sqrt{3}$，
則雙曲線的方程為x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意運(yùn)用直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是由不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y-4≤0\\ x+y-4≤0\end{array}\right.$所確定的平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓x2+y2-8x-8y+30=0上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（　　）
A．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B．$\sqrt{2}$C．$2\sqrt{2}$D．$2\sqrt{2}-1$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．設(shè)z∈C，z+2i，$\frac{z}{2-i}$均為實(shí)數(shù)．
（1）求z；
（2）求ω=z2+3$\overline{z}$-4（$\overline{z}$是z的共軛復(fù)數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．設(shè)函數(shù)f（x）=ax1nx+be（其中a，b∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為y=2x，g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{e}$+e．
（1）求a，b；
（2）證明：對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），f（x1）≥g（x2）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)．
（1）當(dāng)a=2b，點(diǎn)P在雙曲線上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2時(shí)，求雙曲線方程．
（2）已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1具有如下性質(zhì)，若x=t交雙曲線于P，Q，A1，A2為雙曲線頂點(diǎn)，則A1P，A2Q交點(diǎn)的軌跡是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
試對(duì)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1寫出具有類似特征的性質(zhì)，并予以證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．若P點(diǎn)是以F1（-3，0）、F2（3，0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線與圓x2+y2=9的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|+|PF2|=（　�。�
A．$\sqrt{13}$B．6C．2$\sqrt{14}$D．2$\sqrt{5}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓C與圓C′：（x-2）2+y2=1有且僅有A，B兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)都在圓C′的左方，相交所得的弦AB長為$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過（1，0）的直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1與$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率分別為e1，e2，且e1+e2=$\sqrt{3}$，則e1e2=（　�。�
A．$\frac{\sqrt{3}}{2}$B．$\frac{3}{4}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{4}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．記min|a，b|為a、b兩數(shù)的最小值，當(dāng)正數(shù)x，y變化時(shí)，令t=min|2x+y，$\frac{2y}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$|，則t的最大值為$\sqrt{2}$．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案