Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2bx+c（a≠0），且f（1）=b．
（1）求證：存在x₁，x₂∈R，使得f（x₁）=f（x₂）=0；
（2）對(duì)（1）中的x₁，x₂，若（a-b）（a-c）＞0．
（I）求

c

a

的取值范圍；
（II）求|x₁-x₂|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲證結(jié)論成立，即證原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，可根據(jù)一元二次方程的根的判別式大于0得到；
（2）條件中f（1）=b可得b=-a-c，代入（a-b）（a-c）＞0，轉(zhuǎn)化成關(guān)于

c

a

的不等式解之即可；
欲求|x₁-x₂|的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可將其轉(zhuǎn)化為

c

a

的函數(shù)，之后求此函數(shù)的值域．

解答：解：由于f（1）=a+2b+c=b，所以a+b+c=0，b=-a-c．
（1）因?yàn)椤?（2b）²-4ac=4（b²-ac）=4[（-a-c）²-ac]
=4(c2+ca+a2)=4[(c+

1

2

a)2+

3

4

a2]＞0
所以二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
故存在x₁，x₂∈R，使得f（x₁）=f（x₂）=0．
（2）（I）由于（a-b）（a-c）＞0，且b=-a-c，
得（2a+c）（a-c）＞0，兩邊同除以a²，
有(

c

a

+2)(

c

a

-1)＜0，所以-2＜

c

a

＜1．
（II）由（I）知，x1+x2=-

2b

a

，x1x2=

c

a

由于|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- 2b a )2-4 c a

=2

b2-ac a2

=2

a2+c2+ac a2

=2

( c a )2+( c a )+1

=2

( c a + 1 2 )2+ 3 4

因?yàn)?span id="qeq4wkm" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">-2＜

c

a

＜1，則-

3

2

＜

c

a

+

1

2

＜

3

2

，
所以2

3 4

≤|x₁-x₂|＜2

(± 3 2 )2+ 3 4

即

3

≤|x1-x2|＜2

3

．

點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)是最基本的初等函數(shù)，我們可以以其為載體研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，也可建立起函數(shù)、方程、不等式三個(gè)二次之間的聯(lián)系．