Question

已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點，M是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線MA交直線l：x=9于G點，直線MB交直線l于H點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試探求以GH為直徑的圓是否恒經過x軸上的定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，∴，∴b²=a²-c²=8．
∴橢圓C的方程為：．…（4分）
（2）記直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，設M，A，B的坐標分別為M（x₀，y₀），A（-3，0），B（3，0），
∴，，∴．
∵P在橢圓上，∴，∴，∴k₁•k₂=，
設G（9，y₁）H（9，y₂），則，．
∴，又k₁•k₂=．∴，∴y₁y₂=-64．…（8分）
因為GH的中點為，|GH|=|y₁-y₂|，
所以，以GH為直徑的圓的方程為：．
令y=0，得（x-9）²=-y₁y₂=64，
∴x=1，x=17，將兩點（17，0），（1，0）代入檢驗恒成立．
所以，以GH為直徑的圓恒過x軸上的定點（17，0），（1，0）．…（12分）
分析：（1）根據橢圓的離心率為，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，建立方程組，求出幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（2）記直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，設M，A，B的坐標分別為M（x₀，y₀），確定k₁•k₂=，進一步確定以GH為直徑的圓的方程，令y=0，可得定點的坐標．
點評：本題考查橢圓的標準方程與性質，考查圓的方程的確定，綜合性強，屬于中檔題．