Question

7．已知$\frac{tan（α-γ）}{tanα}$+$\frac{si{n}^{2}β}{si{n}^{2}α}$=1，求證：tan²β=tanαtanγ．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的三角公式，化簡(jiǎn)等式的左邊，可得結(jié)論．

解答 證明：∵已知$\frac{tan（α-γ）}{tanα}$+$\frac{si{n}^{2}β}{si{n}^{2}α}$=1，∴$\frac{sin（α-γ）cosα}{sinαcos（α-γ）}$+$\frac{{sin}^{2}β}{{sin}^{2}α}$=1，
∴sin²β=sin²α•[1-$\frac{sin（α-γ）cosα}{cos（α-γ）sinα}$]=sin²α•$\frac{cos（α-γ）sinα-sin（α-γ）cosα}{cos（α-γ）sinα}$=$\frac{{sin}^{2}αcos（α-γ）-sinαcosαsin（α-γ）}{cos（α-γ）}$ 
=sinα•$\frac{sin[α-（α-γ）]}{cos（α-γ）}$=$\frac{sinαsinγ}{cos（α-γ）}$=$\frac{sinαsinγ}{cosαcosγ+sinαsinγ}$．
∵tan²β=$\frac{{sin}^{2}β}{1{-sin}^{2}β}$=$\frac{\frac{sinαsinγ}{cosαcosγ+sinαsinγ}}{1-\frac{sinαsinγ}{cosαcosγ+sinαsinγ}}$=$\frac{sinαsinγ}{cosαcosγ}$=tanα•tanγ，
∴tan²β=tanαtanγ成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的三角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．