Question

14．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的右焦點F，且斜率為2的直線l與雙曲線的相交于點A，B，若弦AB的中點橫坐標取值范圍為（2c，4c），則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （3，4）
• B． （2，3）
• C． $（\sqrt{3}，4）$
• D． $（\sqrt{3}，2）$

Answer 1

分析 設右焦點F（c，0），直線l的方程為y=2（x-c），代入雙曲線的方程可得（b²-4a²）x²+8ca²x-4a²c²-a²b²=0，運用韋達定理和中點坐標公式，再由條件可得2c＜$\frac{4c{a}^{2}}{4{a}^{2}-^{2}}$＜4c，結合a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求范圍．

解答 解：設右焦點F（c，0），直線l的方程為y=2（x-c），
代入雙曲線的方程可得（b²-4a²）x²+8ca²x-4a²c²-a²b²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{8c{a}^{2}}{4{a}^{2}-^{2}}$，
即有AB的中點的橫坐標為$\frac{4c{a}^{2}}{4{a}^{2}-^{2}}$，
由題意可得2c＜$\frac{4c{a}^{2}}{4{a}^{2}-^{2}}$＜4c，
化簡可得2a²＜b²＜3a²，
即有3a²＜c²＜4a²，
即$\sqrt{3}$a＜c＜2a，
可得e=$\frac{c}{a}$∈（$\sqrt{3}$，2）．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．