Question

3．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=BB₁=1，B₁C=2．
（Ⅰ）求證：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直線A₁C與平面B₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)直三棱柱的定義便可得到AC⊥B₁B，再根據(jù)條件AC⊥AB便可得出AC⊥平面ABB₁A₁，從而由面面垂直的判定定理即可得出平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）可連接A₁B，設(shè)交AB₁于M，可得到A₁M⊥AB₁，從而由面面垂直的性質(zhì)定理得到A₁M⊥平面B₁AC，這樣∠A₁CM便是直線A₁C與平面B₁AC所成的角，根據(jù)條件便可求出A₁M和A₁C的長(zhǎng)，由$sin∠{A}_{1}CM=\frac{{A}_{1}M}{{A}_{1}C}$即可得出直線A₁C與平面B₁AC所成角的正弦值．

解答 解：（I）證明：由直三棱柱性質(zhì)，B₁B⊥平面ABC；
∴B₁B⊥AC；
又AB⊥AC，B₁B∩BA=B；
∴AC⊥平面ABB₁A₁，AC?平面B₁AC；
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（II）如圖，連接A₁B交AB₁于M，連接CM；

∵AB=BB₁；
∴A₁B₁=AA₁；
∴A₁M⊥AB₁；
∵平面B₁AC⊥平面ABB₁A，且平面B₁AC∩平面ABB₁A₁=B₁A；
∴A₁M⊥平面B₁AC；
∴∠A₁CM為直線A₁C與平面B₁AC所成的角；
∵AB=BB₁=1，B₁C=2；
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{2}$；
∴${A}_{1}C=\sqrt{3}，{A}_{1}M=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$sin∠{A}_{1}CM=\frac{{A}_{1}M}{{A}_{1}C}=\frac{\sqrt{6}}{6}$；
∴直線A₁C與平面B₁AC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，以及直線和平面所成角的定義，直角三角形邊的關(guān)系，正弦函數(shù)的定義．