Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣a）ex ， a∈R． （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，試求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）試求f（x）在[1，2]上的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，求證：對于x∈[﹣5，+∞）， 恒成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣a）ex得f'（x）=（x﹣a+1）ex．

當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=xex，令f'（x）＞0，得x＞0，

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．

（Ⅱ）令f'（x）=0得x=a﹣1．

所以當(dāng)a﹣1≤1時(shí)，x∈[1，2]時(shí)f'（x）≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)a﹣1≥2時(shí)，x∈[1，2]時(shí)f'（x）≤0恒成立，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)1＜a﹣1＜2時(shí)，x∈[1，a﹣1）時(shí)f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；

x∈（a﹣1，2）時(shí)f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

綜上，無論a為何值，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）最大值都為f（1）或f（2）．

f（1）=（1﹣a）e，f（2）=（2﹣a）e2，

f（1）﹣f（2）=（1﹣a）e﹣（2﹣a）e2=（e2﹣e）a﹣（2e2﹣e）．

所以當(dāng) 時(shí)，f（1）﹣f（2）≥0，f（x）max=f（1）=（1﹣a）e．

當(dāng) 時(shí)，f（1）﹣f（2）＜0， ．

（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，所以h'（x）=xex+1．

所以h'（x）=（x+1）ex．

令h'（x）=（x+1）ex=0，解得x=﹣1，

所以當(dāng)x∈[﹣5，﹣1），h'（x）＜0，h'（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈[﹣1，+∞），h'（x）＞0，h'（x）單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x=﹣1時(shí)， ．

所以函數(shù)h（x）在[﹣5，+∞）單調(diào)遞增．

所以 ．

所以x∈[﹣5，+∞）， 恒成立

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最大值是f（1）或f（2），通過作差求出滿足f（1）或f（2）最大時(shí)a的范圍，從而求出f（x）的最大值；（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而證明結(jié)論即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．