Question

如圖，在三棱錐中，直線平面，且，又點，，分別是線段，，的中點，且點是線段上的動點．

（1）證明：直線平面；

（2）若，求二面角的平面角的余弦值．

 

 

Answer 1

（1）見解析；（2）3．（3）

【解析】

試題分析：（1）利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算．其中靈活建系是解題的關鍵．（2）證明線面平行，需證線線平行，只需要證明直線的方向向量平行；（3）把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當?shù)淖鴺讼�，實施幾何問題代數(shù)化．同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備．

試題解析：

（1）連結QM 因為點，，分別是線段，，的中點

所以,

所以 平面, 平面

因為,所以平面∥平面 ,平面

所以∥平面

（2）方法1：過M作MH⊥AN于H，連QH，則∠QHM即為

二面角的平面角, 令

即QM=AM=1所以

此時 ，MH= ，記二面角的平面角為

則tan=，所以COS=即為所求．

方法2：以B為原點，以BC、BA所在直線為x軸y軸建空間直角坐標系，設

則A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p（0,2,2）,Q（0,1,1）,

=（0,-1,1）,

記，則

取

又平面ANM的一個法向量，所以cos=

即為所求．

考點：空間幾何體的線面平行以及二面角．