Question

如圖，在三棱錐中，直線平面，且，又點(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn)，且點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）證明：直線平面；

（2）若，求二面角的平面角的余弦值．

 

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）3．（3）

【解析】

試題分析：（1）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．其中靈活建系是解題的關(guān)鍵．（2）證明線面平行，需證線線平行，只需要證明直線的方向向量平行；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化．同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備．

試題解析：

（1）連結(jié)QM 因?yàn)辄c(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn)

所以,

所以 平面, 平面

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106003308572326/SYS201502210600383204795987_DA/SYS201502210600383204795987_DA.014.png">,所以平面∥平面 ,平面

所以∥平面

（2）方法1：過(guò)M作MH⊥AN于H，連QH，則∠QHM即為

二面角的平面角, 令

即QM=AM=1所以

此時(shí) ，MH= ，記二面角的平面角為

則tan=，所以COS=即為所求．

方法2：以B為原點(diǎn)，以BC、BA所在直線為x軸y軸建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

則A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p（0,2,2）,Q（0,1,1）,

=（0,-1,1）,

記，則

取

又平面ANM的一個(gè)法向量，所以cos=

即為所求．

考點(diǎn)：空間幾何體的線面平行以及二面角．