Question

函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106013302555871/SYS201502210601360725740282_ST/SYS201502210601360725740282_ST.002.png">，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106013302555871/SYS201502210601360725740282_ST/SYS201502210601360725740282_ST.005.png">，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有（ ）

①；

②；

③；

④

A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①③

 

Answer 1

C

【解析】

試題分析：函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②

①，若存在“倍值區(qū)間”，則

∴，若存在“倍值區(qū)間”[0，2]；

②，若存在“倍值區(qū)間”，則

構(gòu)建函數(shù)，∴，

∴函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴函數(shù)在處取得極小值，且為最小值．

∵，∴恒成立，∴無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；

③因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106013302555871/SYS201502210601360725740282_DA/SYS201502210601360725740282_DA.016.png">，所以

若存在“倍值區(qū)間”，則，若存在“倍值區(qū)間”；

④）（a＞0，a≠1）．不妨設(shè)，則函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)

若存在“倍值區(qū)間”，則必有m，n是方程的兩個根，必有m，n是方程的兩個根，由于存在兩個不等式的根，故存在“倍值區(qū)間”[m，n]；綜上知，所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域 .