Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）為奇函數(shù)，且f（x）在x=1處取得極大值2．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）記g(x)=

f(x)

x

+(k+1)lnx，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)k=2時(shí)，若函數(shù)y=g（x）的圖象在直線y=x+m的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0
∴f'（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得極大值2．
∴

f′(1)=0 f(1)=2

?

3a+c=0 a+c=2.

解得a=-1，c=3，
∴f（x）=-x³+3x
（2）∵g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，
∴g′(x)=-2x+(k+1)

1

x

=

-2x2+(k+1)

x

因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，+∞），所以
①當(dāng)，k=-1時(shí)，g'（x）=-2x＜0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)k＜-1時(shí)，k+1＜0，
∵x＞0，
∴g′(x)=

-2x2+(k+1)

x

＜0．可得函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
③k＞-1時(shí)，k+1＞0，令g'（x）＞0，得

-2x2+(k+1)

x

＞0，
∵x＞0，
∴-2x²+（k+1）＞0，得-

k+1 2

＜x＜

k+1 2

，結(jié)合x＞0，得0＜x＜

k+1 2

；
令g'（x）＜0，得

-2x2+(k+1)

x

＜0，同上得2x²＞（k+1），解得x＞

k+1 2

，
∴k＞-1時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

k+1 2

），單調(diào)遞增區(qū)間為（

k+1 2

，+∞）
綜上，當(dāng)k≤-1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)k＞-1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

k+1 2

），單調(diào)遞減區(qū)間為（

k+1 2

，+∞）（包含

k+1 2

不扣分）
（3）當(dāng)k=2時(shí)，g（x）=-x²+3+3lnx，
令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，（11分）
h′(x)=-2x-1+

3

x

，
令h′（x）=0，

-2x2-x+3

x

=0，得x=1，x=-

3

2

（舍去）．
由函數(shù)y=h（x）定義域?yàn)椋?，+∞），則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)h'（x）＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值1-m．
由1-m＜0得m＞1
故m的取值范圍是（1，+∞）．