在數(shù)列{an}中a1=1,an+1=an+
1
n2+n
,則an=
2n-1
n
2n-1
n
分析:a1=1,an+1=an+
1
n2+n
,分別令n=1,2,3,依次求出a1=1,a2=
3
2
,a3=
5
3
,a4=
7
4
,由此猜想an=
2n-1
n
.再用數(shù)學歸納法證明.
解答:解:∵a1=1,an+1=an+
1
n2+n
,
a1=1=
2×1-1
1
=1,
a2=1+
1
12+1
=1+
1
2
=
3
2
=
2×2-1
2

a3=
3
2
+
1
22+2
=
5
3
=
2×3-1
3
,
a4=
5
3
+
1
32+3
=
7
4
=
2×4-1
4
,

由此猜想an=
2n-1
n

下面用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,a1=
2×1-1
1
=1,成立;
②假設當n=k時,ak=
2k-1
k

當n=k+1時,ak+1=
2k-1
k
+
1
k2+k
=
(2k-1)(k+1)+1
k(k+1)
=
2(k+1)-1
k+1
,也成立.
∴an=
2n-1
n
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意數(shù)學歸納法的合理運用.本題也可由累加法求出通項公式
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下面幾種推理過程是演繹推理的是( 。
A、某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人數(shù)超過50人
B、兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補,如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則∠A+∠B=180°
C、由平面三角形的性質(zhì),推測空間四面體性質(zhì)
D、在數(shù)列{an}中a1=1,an=
1
2
(an-1+
1
an-1
)(n≥2)
,由此歸納出{an}的通項公式

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下面幾種推理過程是演繹推理的是(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中a1=
1
2
a2=
1
5
,且an+1=
(n-1)an
n-2an
(n≥2)

(1)求a3、a4,并求出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=
anan+1
an
+
an+1
,求證:對?n∈N*,都有b1+b2+…bn
3n-1
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2005•南匯區(qū)一模)在數(shù)列{an}中a1=-13,且3an=3an+1-2,則當前n項和sn取最小值時n的值是
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