Question

5．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是邊長為$\sqrt{2}$的正方形，矩形ADD₁A₁所在的平面垂直于平面ABCD，且AA₁=2，則該幾何體ABCD-A₁D₁的外接球的體積是（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{2}π}}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{2}π}}{3}$
• C． $2\sqrt{2}π$
• D． $\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$

Answer 1

分析 將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，該幾何體ABCD-A₁D₁的外接球就是長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球，可得球的直徑，即可求出該幾何體ABCD-A₁D₁的外接球的體積．

解答 解：將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
該幾何體ABCD-A₁D₁的外接球就是長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球，
所以球的直徑是$\sqrt{{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$，
所以該幾何體ABCD-A₁D₁的外接球的體積$\frac{4}{3}π{（\sqrt{2}）^3}=\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查該幾何體ABCD-A₁D₁的外接球的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁是關(guān)鍵．