Question

18．已知點A（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（$\frac{π}{4}$，1），C（$\frac{π}{2}$，0），若這三個點中有且僅有兩個點在函數(shù)f（x）=sinωx的圖象上，則正數(shù)ω的最小值為4．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的圖象特征，分類討論，求得每種情況下正數(shù)ω的最小值，從而得出結(jié)論．

解答 解：①若只有A、B兩點在函數(shù)f（x）=sinωx的圖象上，
則有sin（ω•$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin（ω•$\frac{π}{4}$）=1，sinω•$\frac{π}{2}$≠0，
則$\left\{\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{3}，或ω=2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{2}≠kπ，k∈Z}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{ω=12k+2，或ω=12k+4，k∈Z}\\{ω=8k+2，k∈Z}\\{ω≠2k，k∈Z}\end{array}\right.$，求得ω無解．
②若只有點A（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{π}{2}$，0）在函數(shù)f（x）=sin（ωx）的圖象上，
則有sin（ω•$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin（ω•$\frac{π}{2}$）=0，sin（ω•$\frac{π}{4}$）≠1，
故有 $\left\{\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{3}，或ω•\frac{π}{6}=2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{2}=kπ，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{4}≠2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{ω=12k+2，或ω=12k+4，k∈Z}\\{ω=2k，k∈Z}\\{ω≠8k+2，k∈Z}\end{array}\right.$，求得ω的最小值為4．
③若只有點B（$\frac{π}{4}$，1）、C（$\frac{π}{2}$，0）在函數(shù)f（x）=sinωx的圖象上，
則有sinω•$\frac{π}{6}$≠$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinω$\frac{π}{4}$=1，sinω$\frac{π}{2}$=0，
故有$\left\{\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{2}=kπ，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{6}≠2kπ+\frac{π}{3}，且ω•\frac{π}{6}≠2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{ω=8k+2，k∈Z}\\{ω=2k，k∈Z}\\{ω≠12k+2且ω≠12k+4，k∈Z}\end{array}\right.$，
求得ω的最小正值為10，
綜上可得，ω的最小正值為4，
故答案為：4．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．