Question

8．已知函數f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），給出下列命題：
①?a∈R，使f（x）為偶函數；
②若f（0）=f（2），則f（x）的圖象關于x=1對稱；
③若a²-b≤0，則f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數；
④若a²-b-2＞0，則函數h（x）=f（x）-2有2個零點．
其中正確命題的序號為①③．

Answer 1

分析 ①當a=0時，f（x）=|x²+b|顯然是偶函數，故①正確；
②由f（0）=f（2），則|b|=|4-4a+b|，取a=0，b=-2，此式成立，此時函數化為f（x）=|x²-2|，其圖象不關于x=1對稱，故②錯誤；
③f（x）=|（x-a）²+b-a²|=（x-a）²+b-a²在區(qū)間[a，+∞）上是增函數，故③正確；
④畫出圖象可知，h（x）=|（x-a）²+b-a²|-2有4個零點，故④錯誤．

解答 解：①當a=0時，f（x）=|x²+b|顯然是偶函數，故①正確；
②取a=0，b=-2，函數f（x）=|x²-2ax+b|化為f（x）=|x²-2|，滿足f（0）=f（2），
但f（x）的圖象不關于x=1對稱，故②錯誤；
③若a²-b≤0，則f（x）=|（x-a）²+b-a²|=（x-a）²+b-a²在區(qū)間[a，+∞）上是增函數，故③正確；
④h（x）=|（x-a）²+b-a²|-2有4個零點，故④錯誤．

∴正確命題為①③．
故答案為：①③．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了二次函數的性質，是中檔題．