Question

【題目】已知，分別是的邊，上的一點，，將沿折起為，使點位于點的位置，連接，，.

（1）若，分別是，的中點，平面與平面的交線為，證明：；

（2）若平面平面，與的面積分別為4和9，，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據圖形的關系可得，從而得到角的關系，即，同理得，根據線面垂直判定定理可得平面，即可得到，由線面平行性質定理可得，進而得結論；

（2）過點在平面內作，垂足為，交于，連接，，運用面面垂直的性質定理以及線面垂直的判斷和性質，結合三角形的面積公式和三角形的相似，以及勾股定理和棱錐的體積公式，計算可得所求值.

（1）因為，分別是，的中點，沿折起為，

所以，

所以，，

所以，所以.

又，同理有，

而，所以平面.

而平面，所以，

又為平面與平面的交線，所以，所以.

（2）如圖所示，過點在平面內作，垂足為，交于，連接，.

因為平面平面，所以平面.而平面，所以.

由，易知，而沿折起為，所以.

所以平面，所以，由此，

所以平面，而平面，所以.

由已知，與的面積分別為4和9，，易求，

由，可得，所以，

在中，，.

所以，

故三棱錐的體積

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