Question

16．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{6}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上一點(diǎn)，若PF₁⊥PF₂，則△PF₁F₂的面積為4．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的定義和勾股定理建立關(guān)于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF₁|•|PF₂|=8，結(jié)合直角三角形的面積公式，可得△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|，得到本題答案．

解答 解：∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴a²=6，b²=4，可得c²=a²-b²=2，
即a=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{2}$，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°，
則有m+n=2a=2$\sqrt{6}$，m²+n²=4c²=8，
即（m+m）²=m²+n²+2mn，
則24=8+2mn
得2mn=16，即mn=8，
∴|PF₁|•|PF₂|=8．
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×8=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形為直角三角形，求它的面積，著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)．