Question

13．已知 {a_n}是等差數(shù)列，其公差為非零常數(shù) d，前 n 項(xiàng)和為 S_n．設(shè)數(shù)列{$\frac{S_n}{n}$}的前 n 項(xiàng)和為 T_n，當(dāng)且僅當(dāng) n=6 時(shí)，T_n有最大值，則$\frac{a_1}6m644g4$的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{5}{2}$）
• B． （-3，+∞）
• C． （-3，-$\frac{5}{2}$）
• D． （-3，+∞）∪（-$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\fracses4q00{2}n+（{a}_{1}-\fracwmiu2gc{2}）$，由數(shù)列{$\frac{S_n}{n}$}的前 n 項(xiàng)和為 T_n，當(dāng)且僅當(dāng) n=6 時(shí)，T_n有最大值，列出不等式組，能求出$\frac{a_1}6u4oeu4$的取值范圍．

解答 解：∵{a_n}是等差數(shù)列，其公差為非零常數(shù) d，前 n 項(xiàng)和為 S_n．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\fracymykyua{2}n+（{a}_{1}-\fracqigw6ue{2}）$，
∵數(shù)列{$\frac{S_n}{n}$}的前 n 項(xiàng)和為 T_n，當(dāng)且僅當(dāng) n=6 時(shí)，T_n有最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{S}_{6}}{6}={a}_{1}+\frac{5}{2}d＞0}\\{\frac{{S}_{7}}{7}={a}_{1}+3d＜0}\\{d＜0}\end{array}\right.$，
解得-3＜$\frac{{a}_{1}}yi4i6kc$＜-$\frac{5}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列中首項(xiàng)與公差的比值的取值范圍的求法，考查等比數(shù)列、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．