求證：
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
（n≥2且n∈N）
分析：利用放縮法來證明，將其變形為
1
n2
＞
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，然后用疊加法得證．
解答：解：
證明：∵n2＜n•（n+1），∴
1
n2
＞
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

∴
1
22
＞
1
2
-
1
3
，
1
32
＞
1
3
-
1
4
，…
∴
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
 ＞
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1

即∴
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＞
1
2
-
1
n+1

故
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
，即證．
點評：此題主要考查不等式的放縮法，同時還運用了疊加法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若n∈N+，n≥2，求證：
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1-
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）△ABC的三邊a，b，c倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B＜
π
2

（2）證明：
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜
n-1
n
(n=2，3，4…)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）當(dāng)n∈N+時，求證：
1
2
≤
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＜1；
（2）當(dāng)n∈N+時，求證：1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若n∈N+，n≥2，求證：
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1-
1
n
．

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