Question

2．設(shè)f（x）=xe^x，g（x）=$\frac{1}{2}$x²+x．
（1）令F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的最小值；
（2）若任意x₁，x₂∈[-1，+∞）且x₁＞x₂有m[f（x₁）-f（x₂）]＞g（x₁）-g（x₂）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為任意x₁，x₂∈[-1，+∞）且x₁＞x₂有mf（x₁）-g（x₁）＞mf（x₂）-g（x₂）＞0恒成立，令h（x）=mf（x）-g（x）=mxe^x-$\frac{1}{2}$x²-x，x∈[-1，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）F（x）=f（x）+g（x）=xe^x+$\frac{1}{2}$x²+x，
F′（x）=（x+1）（e^x+1），
令F′（x）＞0，解得：x＞-1，令F′（x）＜0，解得：x＜-1，
故F（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，+∞）遞增，
故F（x）_min=F（-1）=-1-$\frac{1}{e}$；
（2）若任意x₁，x₂∈[-1，+∞）且x₁＞x₂有m[f（x₁）-f（x₂）]＞g（x₁）-g（x₂）恒成立，
則任意x₁，x₂∈[-1，+∞）且x₁＞x₂有mf（x₁）-g（x₁）＞mf（x₂）-g（x₂）＞0恒成立，
令h（x）=mf（x）-g（x）=mxe^x-$\frac{1}{2}$x²-x，x∈[-1，+∞），
即只需h（x）在[-1，+∞）遞增即可；
故h′（x）=（x+1）（me^x-1）≥0在[-1，+∞）恒成立，
故m≥$\frac{1}{{e}^{x}}$，而$\frac{1}{{e}^{x}}$≤e，
故m≥e．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．