Question

9．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點Q，AC平分∠DAB，AP為梯形ABCD外接圓的切線，交BD的延長線于點P．
（1）求證：PQ²=PD•PB；
（2）若AB=4，AP=3，AD=$\frac{3}{2}$，求AQ的長．

Answer 1

分析 （1）由已知可證∠PAD=∠ABD，進而可證PAQ=∠AQP，可得PA=PQ，利用切割線定理即可得證．
（2）先求△PAD∽△PBA，從而可得PB，由切割線定理可求PD，進而可求AQ=DQ=PA-PD的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）∵PA為圓的切線，∴∠PAD=∠ABD，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠CAD…2分
∴∠PAD+∠DAC=∠BAC+∠ABD，
∴∠PAQ=∠AQP，
∴PA=PQ，…4分
∵PA為圓的切線，∴PA²=PD•PB，∴PQ²=PD•PB…5分
（2）∵△PAD∽△PBA，
∴$\frac{PA}{AD}=\frac{PB}{AB}$，∴PB=$\frac{12}{\frac{3}{2}}$=8，…7分
∵PA²=PD•PB，∴PD=$\frac{9}{8}$，…8分
∴AQ=DQ=PA-PD=3-$\frac{9}{8}$=$\frac{15}{8}$．…10分

點評 本題主要考查了三角形相似的性質，切割線定理的應用，考查了數形結合與轉化思想，考查了計算能力，屬于中檔題．