Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數(shù)，a≠0，x∈R），
（1）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設mn＜0，m+n>0，a>0，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）是否大于0？

Answer 1

解：（1）因為f（-1）=0，
所以a-b+1=0
因為f（x）的值域為[0，+∞），
所以
所以b²-4（b-1）=0
解得b=2，a=1
所以f（x）=（x+1）²
所以。
（2）因為g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1
=
所以當或時g（x）單調(diào)，
即k的取值范圍是（-∞，-2]或[6，+∞）時，g（x）是單調(diào)函數(shù)。
（3）因為f（x）為偶函數(shù)，
所以f（x）=ax²+1
所以
因為mn＜0，依條件設m>0，則n＜0
又m+n>0
所以m>-n>0
所以|m|>|-n|
此時F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）>0，
即F（m）+F（n）>0。