Question

已知函數(shù)f（x）=4x²+ax+b，設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為（x₁，x₂），且方程f（x）=x的兩實(shí)根為α，β．
（1）若|α-β|=2，求a，b的關(guān)系式；
（2）若α＜1＜β＜2，求（x₁+1）（x₂+1）的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）=x得到4x²+（a-1）x+b=0，所以根據(jù)韋達(dá)定理可以用a，b表示α+β，αβ，根據(jù)|α-β|=2即可得到a，b的關(guān)系式；
（2）令g（x）=4x²+（a-1）x+b，由α＜1＜β＜2便可得到：

g(1)＜0 g(2)＞0

，這樣可求出a的范圍，而根據(jù)韋達(dá)定理可用a，b表示出（x₁+1）（x₂+1），根據(jù)a的取值范圍即可求出（x₁+1）（x₂+1）的范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=x得：4x²+（a-1）x+b=0；
∴α+β=

1-a

4

，αβ=

b

4

；
又|α-β|=2，∴(α-β)2=(α+β)2-4αβ=

(a-1)2

16

-b=4；
∴b=

(a-1)2

16

-4；
（2）令g（x）=4x²+（a-1）x+b；
∵α＜1＜β＜2；
∴g（1）=4+a-1+b＜0，∴3+a+

(a-1)2

16

-4＜0，解得-15＜a＜1；
g（2）=16+2a-2+b＞0，∴2a+

(a-1)2

16

+10＞0，解得a＜-23，或a＞-7，∴-7＜a＜1；
（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=

b

4

-

a

4

+1=

(a-1)2

64

-1-

a

4

+1=

a2-18a+1

64

=

(a-9)2-80

64

；
函數(shù)

(a-9)2-80

64

在（-7，1）上為減函數(shù)，
∴-

1

4

＜

(a-9)2-80

64

＜

11

4

；
∴（x₁+1）（x₂+1）的范圍為(-

1

4

，

11

4

)．

點(diǎn)評(píng)：考查韋達(dá)定理，完全平方式，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性求二次函數(shù)的值域．