Question

已知一個袋子里有形狀一樣僅顏色不同的6個小球，其中白球2個，黑球4個．現(xiàn)從中隨機取球，每次只取一球．
（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”的概率；
（2）若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有白球或取球次數(shù)達到五次就終止游戲，記游戲結(jié)束時一共取球X次，求隨機變量X的分布列與期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）記事件A_i表示“第i次取到白球”（i∈N^*），事件B表示“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”，則：

.

B

=

.

A1

.

A2

.

A3

.

A4

+A1

.

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

.

A2

A3

.

A4

+

.

A1

.

A2

.

A3

A4，由此利用對立事件概率計算公式能求出事件“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”的概率．
（2）隨機變量X的取值分別為2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列與期望．

解答： 解：（1）記事件A_i表示“第i次取到白球”（i∈N^*），
事件B表示“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”，
則：

.

B

=

.

A1

.

A2

.

A3

.

A4

+A1

.

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

.

A2

A3

.

A4

+

.

A1

.

A2

.

A3

A4．…（2分）
∴P（

.

B

）=P（

.

A1

.

A2

.

A3

.

A4

）+P（A1

.

A2

.

A3

.

A4

）+P（

.

A1

A2

.

A3

.

A4

）+P（

.

A1

.

A2

A3

.

A4

）+P（

.

A1

.

A2

.

A3

A4）
=(

4

6

)4+

2

6

×(

4

6

)3×4=

16

27

，…（4分）
∴P（B）=1-P（

.

B

）=1-

16

27

=

11

27

．…（5分）
（2）隨機變量X的取值分別為2，3，4，5                        …（6分）
P（X=2）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，
P（X=3）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

×

1

4

=

2

15

，
P（X=4）=

C 1 2 C 2 4

C 3 6

×

1

3

=

1

5

，
P（X=5）=1-

1

15

-

2

15

-

1

5

=

3

5

，…（10分）
∴隨機變量X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	1 15	2 15	1 5	3 5

…（11分）
∴隨機變量X的期望為：EX=2×

1

15

+3×

2

15

+4×

1

5

+5×

3

5

=

13

3

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法及應(yīng)用，是中檔題．