Question

若直線y=t與函數(shù)y=x³-3x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=x³-3x的圖象與性質(zhì)，求出函數(shù)在極大值與極小值，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象求出t的取值范圍．

解答： 解：∵y=x³-3x，
∴y'=3x²-3=3（x+1）（x-1），…（2分）
∴當(dāng)x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）時(shí)，
y'＞0，y=x³-3x為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，
y'＜0，y=x³-3x為減函數(shù)；…（4分）
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=x³-3x有極小值是1³-3×1=-2；
當(dāng)x=-1時(shí)，y=x³-3x有極大值是（-1）³-3×（-1）=2；…（6分）
畫出圖象，如圖所示；
由題意，結(jié)合圖象得-2＜t＜2．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題，解題時(shí)應(yīng)畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象解答問題，是中檔題目．