Question

在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足

3

csinA=acosC
（1）求角C的大小；
（2）求cosA+sinB的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）利用正弦定理，將

3

csinA=acosC轉(zhuǎn)化為

3

sinCsinA=sinAcosC，可得tanC=

3

3

，從而可得角C的大小；
（2）由（1）知A=

5π

6

-B，將cosA+sinB化為角B的關(guān)系式，利用三角恒等變換可得cosA+sinB=

3

sin（B-

π

6

），利用

π

6

＜B-

π

6

＜

π

3

即可求得其取值范圍．

解答： 解析：（1）由正弦定理得

3

sinCsinA=sinAcosC，
因?yàn)?span id="5ahff4q" class="MathJye">0＜A＜

π

2

所以sinA＞0，從而

3

sinC=cosC，即tanC=

3

3

，又0＜C＜

π

2

，所以C=

π

6

；
（2）由（1）可知 A+B=

5π

6

，所以A=

5π

6

-B，又0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，所以

π

3

＜B＜

π

2

，cosA+sinB=cos(

5π

6

-B)+sinB=cos

5π

6

cosB+sin

5π

6

sinB+sinB=

3

sin(B-

π

6

)，
又

π

6

＜B-

π

6

＜

π

3

，
所以

3

2

＜cosA+sinB＜

3

2

，即cosA+sinB的取值范圍為（

3

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦定理的應(yīng)用，求得C=

π

6

是關(guān)鍵；考查化歸思想與兩角差的正弦，屬于中檔題．