Question

20．三棱錐D-ABC內(nèi)接于表面積為100π的球面，DA⊥平面ABC，且AB=8，AC⊥BC，∠BAC=30°，則三棱錐D-ABC的體積為16$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知得棱錐D-ABC的四個頂點在以AC=4$\sqrt{3}$、BC=4、AD為長、寬、高的長方體的外接球上，球的半徑為5，由此能求出三棱錐D-ABC的體積．

解答 解：∵三棱錐D-ABC內(nèi)接于表面積為100π的球面，DA⊥平面ABC，且AB=8，AC⊥BC，∠BAC=30°，
∴三棱錐D-ABC的四個頂點在以AC=4$\sqrt{3}$、BC=4、AD為長、寬、高的長方體的外接球上，球的半徑為5
∴AC²+BC²+AD²=（2×5）²，
即48+16+AD²=100，解得AD=6，
∴三棱錐D-ABC的體積：
V_D-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}×6$=16$\sqrt{3}$．
故答案為：16$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．