Question

8．關于下列命題，正確的個數(shù)是（　�。�
（1）若點（2，1）在圓x²+y²+kx+2y+k²-15=0外，則k＞2或k＜-4
（2）已知圓M：（x+cosθ）²+（y-sinθ）²=1，直線y=kx，則直線與圓恒相切
（3）已知點P是直線2x+y+4=0上一動點，PA、PB是圓C：x²+y²-2y=0的兩條切線，A、B是切點，則四邊形PACB的最小面積是為2
（4）設直線系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，M中的直線所能圍成的正三角形面積都等于12$\sqrt{3}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 點（2，1）在圓外，則k²+2k-8＞0，解得k＜-4，或k＞2，故（1）正確；利用點到直線的距離公式，得到d=$\frac{|kcosθ+sinθ|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，再利用輔助角公式化簡得d=|sin（θ+φ）|，從而d≤r，則直線與圓相交或相切，故（2）錯誤；因為S_{四邊形PACB}=2S_Rt△PAC=PA，而PA=$\sqrt{P{C}^{2}-{r}^{2}}$，所以當PC取得最小值時，四邊形PACB的面積最�。�又因為PC的最小值就是圓心C到直線的距離d，利用點到直線的距離公式即可算出d=$\sqrt{5}$，所以四邊形PACB的面積為2，故（3）正確；由直線系M的方程可知，所以直線都是定圓（x-2）²+y²=4的切線，利用圓的半徑即可算出正三角形的面積，故（4）正確．

解答 解：對于（1）：∵點（2，1）在圓外，∴k²+2k-8＞0，解得k＜-4，或k＞2，故（1）正確；
對于（2）：圓心M到直線的距離d=$\frac{|kcosθ+sinθ|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=|\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}cosθ+\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}sinθ|$=|sin（θ+φ）|，其中sinφ=$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，cosφ=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵|sin（θ+φ）|≤1，∴直線與圓相交或相切．故（2）錯誤；
對于（3）：圓C：x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1，故圓心C（0，1），半徑r=1，
圓心C到直線2x+y+4=0的距離d=$\frac{5}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\sqrt{5}$，即PC_min=$\sqrt{5}$，
∵$PA=\sqrt{P{C}^{2}-{r}^{2}}$，∴PA_min=2，
∵${S}_{四邊形PACB}=2{S}_{Rt△PAC}=2×\frac{1}{2}PA•r=PA$，∴（S_{四邊形PACB}）_min=2，故（3）正確；
對于（4）：直線系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，即（x-2）cosθ+ysinθ=2
∵點（2，0）到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}=2$，
∴直線系M都是圓C：（x-2）²+y²=4的切線．
設△ABC是M中的直線所能圍成的一個正三角形，則AC=2r=4，AB=2AD=2$\sqrt{A{C}^{2}-{r}^{2}}=4\sqrt{3}$
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}=12\sqrt{3}$，故（4）正確．

綜上可知，正確的是（1），（3），（4），共有3個．
故選：C

點評 本題考查了點與圓的位置關系，直線系的應用以及直線與圓的位置關系，考查了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，屬于中檔題