Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)xOy中，橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（${\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}}$），且與圓x²+（y-3）²=4外切，過原點O的直線l的傾斜角為鈍角，且直線l交橢圓M于B，C兩點，A為橢圓的右頂點．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若△ABC的面積為$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求直線BC的斜率．

Answer 1

分析 （1）由橢圓經(jīng)過點（${\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}}$），且與圓x²+（y-3）²=4外切，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓M的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx（k＜0），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-4=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式能求出直線BC的斜．

解答 解：（1）∵橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（${\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}}$），且與圓x²+（y-3）²=4外切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{^{2}}=1}\\{b+2=3}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)直線BC的斜率為k，則直線l的方程為y=kx（k＜0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-4=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（2，0），
${x}_{1}+{x}_{2}=0，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，
|BC|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[{0}^{2}-4×（-\frac{4}{1+4{k}^{2}}）]}$=4$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$，
點A（2，0）到直線y=kx的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵△ABC的面積為$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}×\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得k=-$\sqrt{2}$，或k=$\sqrt{2}$（舍），
∴直線BC的斜率為-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．