Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx+ax﹣ （a∈R）在x=2處的切線經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，ln2）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若不等式 ＞mx﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，令x=2，∴f'（2）=1+a+f'（2），

∴a=﹣1，設(shè)切點(diǎn)為（2，2ln2+2a﹣2f'（2）），

則y﹣（2ln2+2a﹣2f'（2））=f'（2）（x﹣2），

代入（﹣4，2ln2）得：2ln2﹣2ln2﹣2a+2f'（2）=﹣6f'（2），

∴ ，

∴ ，

∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減

（2）解： 恒成立 ，

令 ，

∴φ（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

∵φ（1）=0，

∴ ，

∴ 在（0，+∞）恒大于0，

∴m≤0．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，得到導(dǎo)函數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為 ，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值即可以解答此題．