Question

5．在直角坐標(biāo)系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．建立極坐標(biāo)系設(shè)曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），宣線l：ρ（4cosθ-5sinθ）+40=0
（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程
（Ⅱ）求曲線C上的點到直線l的最小距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C的參數(shù)方程，能求出曲線C的普通方程，由直線l的極坐標(biāo)方程，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)曲線C上的點為P（5cosα，3sinα），利用點到直線的距離公式能求出曲線C上的點到直線l的最小距離．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
∵直線l：ρ（4cosθ-5sinθ）+40=0，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為：4x-5y+40=0．
（Ⅱ）設(shè)曲線C上的點為P（5cosα，3sinα），
P（5cosα，3sinα）到直線l的距離：
d=$\frac{|20cosα-15sinα+40|}{\sqrt{16+25}}$=$\frac{|40+25sin（α+θ）|}{\sqrt{41}}$，
∵sin（α+θ）∈[-1，1]．
∴當(dāng)sin（α+θ）=-1時，曲線C上的點到直線l的最小距離d_min=$\frac{15\sqrt{41}}{41}$．

點評 本題考查曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線上的點到直線的最小距離的求法，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．