Question

3．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，那么a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． [4，8）
• C． （4，8）
• D． （1，8）

Answer 1

分析 由已知可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$為增函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ 4-\frac{a}{2}＞0\\ 4-\frac{a}{2}+2≤a\end{array}\right.$，解得a的取值范圍．

解答 解：∵對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ 4-\frac{a}{2}＞0\\ 4-\frac{a}{2}+2≤a\end{array}\right.$，
解得：a∈[4，8），
故選：B

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，正確理解分段函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．