Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²-4x-8
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）在[2，5]上的值域．
（2）若函數(shù)f（x）在[2，5]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，配方法化簡(jiǎn)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x-8=$\frac{1}{2}$（x-4）²-16，從而求值域；
（2）分a=0與a≠0討論，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x-8=$\frac{1}{2}$（x-4）²-16，
∵x∈[2，5]，
∴-16≤$\frac{1}{2}$（x-4）²-16≤-14，
故函數(shù)f（x）在[2，5]上的值域?yàn)閇-16，-14]；
（2）若a=0，則f（x）=-4x-8在[2，5]上單調(diào)遞減，符合題意；
若a≠0，則f（x）=a（x-$\frac{2}{a}$）²-8-$\frac{4}{a}$，其對(duì)稱軸是x=$\frac{2}{a}$；
若a＜0，則x=$\frac{2}{a}$＜0，
所以f（x）在[2，5]上單調(diào)遞減，符合題意；
若a＞0，則x=$\frac{2}{a}$＞0，
要使f（x）在[2，5]上是單調(diào)函數(shù)，
則$\frac{2}{a}$≤2或$\frac{2}{a}$≥5；
所以a≥1或0＜a≤$\frac{2}{5}$；
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a≥1或a≤$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．