Question

6．已知$|{\overrightarrow a}|=4，|{\overrightarrow b}|=3，（{2\overrightarrow a-3\overrightarrow b}）（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=61$．
（1）求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$；
（2）若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{BC}=\overrightarrow b$，求向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上方向上的投影；
（3）已知$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$成鈍角，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用向量數量積的性質：向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值；
（2）由向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上方向上的投影為$\frac{-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$，計算即可得到所求值；
（3）由兩向量的夾角為鈍角的條件：數量積小于0，且不共線，化簡整理解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，
可得4$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3$\overrightarrow$²=4×16-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3×9=61，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-6，
則$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{16-12+9}$=$\sqrt{13}$；
（2）向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上方向上的投影為$\frac{-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{6}{3}$=2；
（3）由$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$成鈍角，可得（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）•（$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$）＜0，且$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$不共線，
可得t$\overrightarrow{a}$²+（1-t）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\overrightarrow$²=16t-6（1-t）-9＜0，解得t＜$\frac{15}{22}$，
又且$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$共線，可得$\overrightarrow a-\overrightarrow b$=m（$t\overrightarrow a+\overrightarrow b$），
即為1=mt，-1=m，解得t=-1．
則實數t的取值范圍是t＜$\frac{15}{22}$且t≠-1．

點評 本題考查向量數量積的定義和性質及投影的概念，考查向量的平方即為模的平方，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．