Question

【題目】已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝2，anan+1＝2(Sn＋1) ()．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，(，)，求{bn}的前n項和Tn；

（3）若數(shù)列{cn}滿足，(，)，試問是否存在正整數(shù)p，q（其中1 < p < q），使c1，cp，cq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組(p，q)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）由anan+1＝2(Sn＋1)，可得an+1an+2＝2(Sn+1＋1)，兩式相減可得an+2an＝2，討論奇偶可得；（2），，利用裂項相消法可得結(jié)果；（3）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)對(p，q)，使c1，cp，cq成等比數(shù)列，可得合題意，再證明p3時不合題意即可.

試題解析：（1）由題意anan+1＝2(Sn＋1)， ①

an+1an+2＝2(Sn+1＋1)， ②

由①②得到：an+1(an+2an)＝2an+1， ③

因為an+1>0，則an+2an＝2， ④

又a1＝2，由④可知；a2＝3，由④可知；

因此，．

（2）當n=1時

當時，

＝＝

＝＝；

則＝．

（3）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)對(p，q)，使c1，cp，cq成等比數(shù)列，即c1cq＝cp2，

則lgc1＋lgcq＝2 lgc p成等差數(shù)列，于是，(＊)．

當時， ，此時，；

可知(p，q)=(2，3) 恰為方程(＊)的一組解．

又當p3時，<0，故數(shù)列{}(p≥3)為遞減數(shù)列．

于是=≤<0，所以此時方程(＊)無正整數(shù)解．

綜上，存在惟一正整數(shù)數(shù)對(p，q)=(2，3)，使c1，cp，cq成等比數(shù)列．

【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②

；③；

④；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.